PHẦN I
SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
----------
I. Định nghĩa
Cho A, B là các biểu thức số.
+ Bất đẳng thức là các mệnh đề có dạng “A > B”, “A < B”, “A ≥ B”, “A ≤ B”.
+ BĐT có thể đúng, có thể sai. Khi nói về BĐT mà không chú thích gì thêm thì ta coi các BĐT đó là đúng.
+ Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh các BĐT (các mệnh đề tương ứng) là đúng.
II. Các tính chất của BĐT
1. A > B ( A - B > 0.
2. A > B và B > C ( A > C.
3. A > B ( A + C > B + C với mọi C.
Hệ quả: A > B + C ( A - C > B.
4. A > B và C > D ( A + C > B + D.
5. A > B và C > D ( A + C > B + D.
6.
.
7. A > B > 0 và C > D > 0 ( A.C > B.D.
Hệ quả:
a) A, B ≥ 0, n(N*: A > B ( A2n > B2n
.
b) n(N*: A > B ( A2n+1 > B2n+1
.
III. Cách chứng minh một BĐT
Để chứng minh một BĐT ta thường dùng một trong các cách chính sau đây:
1. Biến đổi tương đương BĐT cần chứng minh về các BĐT đúng (hoặc giả thiết đúng).

2. Từ một BĐT đúng (hoặc giả thiết đúng) biến đổi kéo theo (suy ra) về BĐT cần chứng minh.

3. Áp dụng hỗn hợp cả hai cách trên:


IV. Các bất đẳng thức đúng được thừa nhận
1. x2 ≥ 0 với mọi x(R. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
2.
với mọi x1,…, xn(R. Dấu “=” xảy ra ( x1 = … = xn = 0.
3. |x| ≥ 0 với mọi x(R. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
4. |x| ≥ ± x với mọi x(R.
5. BĐT Cauchy: cho n(N, n > 1 và a1, a2,…, an ≥ 0. Khi đó ta có:

. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =…= an.
6. BĐT Bunhiacopxki: Cho a1,…, an và b1,…, bn là các số thực. Khi đó ta có:

. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ai = t.bi với mọi i = 1,…, n.
7. Bất đẳng thức về GTTĐ: |a| - |b| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b|. Để xét dấu bằng xảy ra cần xét dấu các trường hợp của a và b.
V. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Chứng minh rằng (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) với mọi a,b,c(R (1).
Lời giải:
Cách 1: (1) ( a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ( 2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + bc + ca) ( (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0 (1’). Vì (1’) đúng với mọi a,b,c(R nên (1) đúng với mọi a,b,c(R. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Cách 2: (a,b,c(R ta có (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0 ( 2(a2 + b2 + c2) ≥ (2ab + bc + ca) ( a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ( a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 3(ab + bc + ca) ( (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca). Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Cách 3: Ta có (1) ( a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (1’’).
Mặt khác (a,b,c(R dễ có:

.
Từ (1’’) và (1’’’) suy ra (1) đúng. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
PHẦN II
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC
----------
I. Phương pháp biến đổi tương đương
1. Nội dung phương pháp
Sử dụng những BĐT được thừa nhận, áp dụng các tính chất