sở giáo dục và đào tạo
TUYÊN QUANG
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thCS
năm học 2009 - 2010

*
môn: toán

 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề này có 01 trang)
----------
Câu 1 (4 điểmRút gọn các biểu thức sau:
1)
, trong đó
là các số đôi một khác nhau.
2)
, trong đó
.
Câu 2 (4 điểmTìm x, y, z thỏa mãn hệ sau:

.
Câu 3 (4 điểm
1) Chứng minh chữ số tận cùng (chữ số hàng đơn vị) của các số tự nhiên
và
là như nhau.
2) Tìm số nguyên tố
để
là số nguyên tố.
Câu 4 (6 điểmCho đường tròn tâm O, bán kính R > 0 không đổi và hai đường kính cố định AB, CD vuông góc với nhau. Lấy điểm I bất kỳ trên đoạn OC (I không trùng với O và C); dựng đường tròn tâm I bán kính IA, đường tròn này cắt tia AD và AC lần lượt tại M và N (khác điểm A).
1) Chứng minh rằng ba điểm I, M, N thẳng hàng.
2) Từ M kẻ đường thẳng song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại K. Chứng minh rằng: DM.DA = DK.DO.
3) Tính tổng MA + NA theo R.
Câu 5 (2 điểmCho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:



HẾT……………..





sở giáo dục và đào tạo tuyên quang
đáp án Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thcs
Năm học 2009 - 2010

Môn thi: Toán

Câu 1 (4 điểm). Rút gọn các biểu thức sau:
1)
, trong đó
là các số đôi một khác nhau.
Đáp án
2 Điểm





1 đ



1 đ

2)
, trong đó
.
Đáp án
2 Điểm


=

0,5 đ

 =

0,5 đ

(vì
nên
và
≥ 1)

0,5 đ

=
0,5 đ

Câu 2 (4 điểm). Tìm x, y, z thỏa mãn hệ sau:

.
Đáp án
2 Điểm

Biến đổi tương đương hệ ta có:




1 đ

Nhân các vế của 3 phương trình với nhau ta được:
(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)
1 đ


(x - 2)(y - 2) (z - 2)
= 0
0,5 đ


(x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0.

x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2
0,5 đ

Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta được x = y = z = 2.
0,5 đ

Vậy: với x = y = z = 2 thỏa mãn hệ đã cho.
0,5 đ

Câu 3 (4 điểm). 1) Chứng minh chữ số tận cùng (chữ số hàng đơn vị) của các số tự nhiên
và
là như nhau.
Đáp án
 2 Điểm

 Ta có:
0,5 đ



0,5 đ

Ta có (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) và 5n(n – 1)(n + 1) đều chia hết cho 10
0,5 đ

Do đó chia hết cho 10, suy ra điều phải chứng minh.
0,5 đ

2) Tìm số nguyên tố
để
là số nguyên tố.
Đáp án
2 Điểm

+ Nếu p = 2 thì
không phải là số nguyên tố.
0,5 đ

+ Nếu p > 2 thì p phải là số lẻ (vì p là số nguyên tố).
0,5 đ

Do đó
là số chẵn